Gleichungslöser

Was löst der Gleichungslöser?

Der Rechner löst zwei Arten von Gleichungen mit einer Unbekannten x: lineare Gleichungen der Form a·x + b = 0 und quadratische Gleichungen der Form a·x² + b·x + c = 0. Wichtig ist, dass auf der rechten Seite eine 0 steht. Steht dort eine andere Zahl, bringst du sie vorher auf die linke Seite. Aus 5x + 20 = 45 wird so 5x − 25 = 0, du gibst also a = 5 und b = −25 ein.

So wird gerechnet

• Linear: x = −b ÷ a. Ist a = 0, gibt es entweder keine Lösung (b ungleich 0) oder unendlich viele (b = 0).
• Quadratisch: Zuerst wird die Diskriminante D = b² − 4·a·c berechnet. Danach gilt die Lösungsformel (Mitternachtsformel) x = (−b ± √D) ÷ (2a). Bei D größer 0 gibt es zwei Lösungen x₁ (mit Plus) und x₂ (mit Minus), bei D = 0 eine doppelte Lösung x = −b ÷ (2a), bei D kleiner 0 keine reelle Lösung.

Ergebnisse werden mit höchstens vier Nachkommastellen angezeigt. Eine Diskriminante, die nur durch winzige Rundungsfehler des Computers von 0 abweicht, wird als 0 behandelt – sonst würde der Rechner bei einer doppelten Lösung fälschlich zwei fast gleiche Lösungen ausgeben. Im quadratischen Modus muss a ungleich 0 sein, sonst wäre die Gleichung linear.

Beispiel 1 mit den Vorgabewerten

Linear: Vorbelegt ist a = 2 und b = −8, also 2x − 8 = 0. Rechnung: x = −(−8) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4. Probe: 2 × 4 − 8 = 0.

Quadratisch: Vorbelegt ist a = 1, b = −3, c = 2, also x² − 3x + 2 = 0.

1. Diskriminante: D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1. Sie ist positiv, also gibt es zwei Lösungen.
2. √D = 1.
3. x₁ = (3 + 1) ÷ 2 = 2 und x₂ = (3 − 1) ÷ 2 = 1.
4. Probe mit x = 2: 4 − 6 + 2 = 0. Stimmt.

Beispiel 2: Textaufgabe zum Beet

Ein rechteckiges Gartenbeet soll 24 m² groß werden, die Länge soll 2 m größer sein als die Breite. Mit der Breite x gilt x · (x + 2) = 24, umgestellt x² + 2x − 24 = 0. Eingabe: a = 1, b = 2, c = −24. Der Rechner liefert D = 4 + 96 = 100 und die Lösungen x₁ = 4 und x₂ = −6. Eine negative Breite ergibt keinen Sinn, das Beet ist also 4 m breit und 6 m lang. Solche Plausibilitätsprüfungen musst du selbst machen – der Rechner gibt immer beide mathematischen Lösungen aus.

Beispiel 3: Keine reelle Lösung

Bei a = 1, b = 2, c = 5 ergibt sich D = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16. Da D negativ ist, hat die Gleichung keine reelle Lösung – die Parabel y = x² + 2x + 5 schneidet die x-Achse nirgends. Dieser Fall wird oft übersehen, wenn man die Wurzel aus D ziehen will, ohne vorher das Vorzeichen zu prüfen.

Schritt für Schritt

1. Forme die Gleichung so um, dass rechts 0 steht, und fasse gleiche Terme zusammen.
2. Wähle oben „Linear“, wenn kein x² vorkommt, sonst „Quadratisch“.
3. Lies die Koeffizienten ab und achte auf die Vorzeichen: Bei x² − 3x + 2 ist b = −3, nicht 3. Fehlt ein Glied, ist sein Koeffizient 0, steht nur x², ist a = 1.
4. Lies Lösung und Diskriminante ab.
5. Mach die Probe, indem du die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, und prüfe, ob sie zur Aufgabe passt.

Beispiele im Überblick

Alle Ergebnisse mit der Rechenlogik des Rechners ermittelt:

Gleichung	a	b	c	D	Lösung
2x − 8 = 0	2	−8	–	–	x = 4
3x + 4,5 = 0	3	4,5	–	–	x = −1,5
x² − 3x + 2 = 0	1	−3	2	1	x₁ = 2, x₂ = 1
x² + 2x − 24 = 0	1	2	−24	100	x₁ = 4, x₂ = −6
2x² − 4x − 6 = 0	2	−4	−6	64	x₁ = 3, x₂ = −1
x² − 5x = 0	1	−5	0	25	x₁ = 5, x₂ = 0
x² − 2 = 0	1	0	−2	8	x₁ = 1,4142, x₂ = −1,4142
x² − 6x + 9 = 0	1	−6	9	0	x = 3 (doppelt)
x² + 2x + 5 = 0	1	2	5	−16	keine reelle Lösung

Bei x² − 2 = 0 ist die Lösung ±√2. Der Rechner zeigt gerundet 1,4142; der exakte Wert hat unendlich viele Nachkommastellen.

Wann brauchst du den Gleichungslöser?

Beim Nachrechnen von Hausaufgaben oder beim Üben für eine Mathearbeit, um den eigenen Lösungsweg zu überprüfen. Bei Textaufgaben, die sich auf eine lineare oder quadratische Gleichung zurückführen lassen, etwa Flächen- oder Bewegungsaufgaben. Bei Kostenfragen: Kostet ein Tarif 5 € pro Monat plus 20 € Anschlussgebühr und willst du wissen, ab wann 45 € erreicht sind, löst du 5x − 25 = 0 und erhältst x = 5 Monate. Oder um schnell zu prüfen, ob eine Gleichung überhaupt reelle Lösungen hat.

Häufige Fehler und Grenzen

• Rechte Seite nicht auf 0 gebracht: Gibst du bei 5x + 20 = 45 einfach a = 5 und b = 20 ein, löst der Rechner 5x + 20 = 0 und liefert −4 statt 5.
• Vorzeichen vergessen: Bei −3x muss b = −3 eingetragen werden. Ein fehlendes Minus ist der häufigste Grund für falsche Lösungen.
• Unsinnige Lösungen nicht aussortiert: Mathematisch korrekte, aber negative Längen, Zeiten oder Stückzahlen musst du selbst verwerfen.
• a = 0 im quadratischen Modus: Dann liegt keine quadratische Gleichung vor. Der Rechner zeigt einen Hinweis, wechsle in den linearen Modus.
• Keine komplexen Lösungen: Bei negativer Diskriminante gibt es zwei komplexe Lösungen, die der Rechner nicht ausgibt.
• Nur Grad 1 und 2: Gleichungen mit x³ oder höher, Bruchgleichungen oder Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten löst dieser Rechner nicht.
• Rundung: Lösungen werden auf vier Nachkommastellen gerundet angezeigt.

Passende Rechner

Für Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck gibt es den Pythagoras-Rechner, für Flächen und Umfänge von Rechteck, Dreieck und Trapez den Geometrierechner. Rechnungen mit Brüchen erledigt der Bruchrechner, einfache Verhältnisaufgaben der Dreisatzrechner.

Häufige Fragen

Was bedeutet die Diskriminante?

Sie zeigt die Anzahl reeller Lösungen: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine doppelte Lösung, D < 0 keine reelle Lösung.

Was passiert bei a = 0 in der linearen Gleichung?

Dann steht da b = 0. Ist b tatsächlich 0, ist jede Zahl eine Lösung (0 = 0, unendlich viele Lösungen). Ist b ungleich 0, ist die Aussage falsch und es gibt keine Lösung.

Kann ich auch Gleichungen höheren Grades lösen?

Nein, der Rechner deckt nur lineare und quadratische Gleichungen ab. Für Gleichungen dritten oder höheren Grades brauchst du andere Verfahren, etwa Polynomdivision oder numerische Näherung.

Was bedeutet eine negative Diskriminante geometrisch?

Die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse nicht – es gibt also keine reellen Nullstellen, sondern nur zwei komplexe Lösungen, die außerhalb des hier abgedeckten Zahlenbereichs liegen.

Was ist die Mitternachtsformel?

Ein umgangssprachlicher Name für die Lösungsformel x = (−b ± √D) ÷ (2a) der quadratischen Gleichung, benannt danach, dass Schüler sie angeblich auch nachts um zwölf auswendig können sollten. Fachlich heißt sie abc-Formel oder allgemeine Lösungsformel.

Was ist der Unterschied zur pq-Formel?

Die pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) setzt voraus, dass vor x² eine 1 steht. Dazu teilst du die Gleichung durch a, dann ist p = b ÷ a und q = c ÷ a. Die Ergebnisse sind identisch mit denen der Mitternachtsformel, die der Rechner verwendet.

Wie bringe ich meine Gleichung in die richtige Form?

Bringe alle Terme auf die linke Seite, sodass rechts 0 steht, und fasse gleiche Potenzen zusammen. Aus 3x² = 2x + 1 wird 3x² − 2x − 1 = 0, also a = 3, b = −2, c = −1.

Warum gibt der Rechner manchmal eine negative Lösung aus, obwohl sie keinen Sinn ergibt?

Der Rechner löst die Gleichung rein mathematisch und kennt den Sachzusammenhang nicht. Bei Textaufgaben zu Längen, Flächen oder Zeiten musst du selbst prüfen, welche Lösung passt, und negative Werte meist verwerfen.