Pythagoras-Rechner
Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
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Ergebnis (in derselben Einheit wie deine Eingaben)
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras beschreibt, wie die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zusammenhängen. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten (a und b). Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse (c). Es gilt: a² + b² = c². Kennst du zwei Seiten, kannst du die dritte ausrechnen – ganz ohne Winkelmessung. Genau das übernimmt dieser Rechner.
So wird gerechnet
Je nach Auswahl im Feld „Gesucht“ löst der Rechner die Formel nach der fehlenden Seite auf:
- Hypotenuse gesucht: c = √(a² + b²)
- Kathete gesucht: a = √(c² − b²) – das geht nur, wenn c größer als b ist, denn die Hypotenuse ist immer die längste Seite.
Das Ergebnis wird auf höchstens vier Nachkommastellen gerundet angezeigt. Der Rechner kennt keine Einheiten: Gibst du Zentimeter ein, erhältst du Zentimeter; gibst du Meter ein, erhältst du Meter. Alle Seiten müssen deshalb in derselben Einheit eingegeben werden. Null und negative Längen werden nicht akzeptiert.
Beispiel 1: Die Vorgabewerte (3-4-5-Dreieck)
Voreingestellt sind die Katheten a = 3 und b = 4. Der Rechner quadriert beide Werte: 3² = 9 und 4² = 16. Die Summe ist 25, und √25 = 5. Die Hypotenuse ist also 5 lang. Stellst du auf „Kathete a gesucht“ um, nutzt der Rechner b = 4 und c = 5: √(25 − 16) = √9 = 3. Das 3-4-5-Dreieck ist das bekannteste Beispiel, bei dem alle drei Seiten ganze Zahlen sind.
Beispiel 2: Wie hoch reicht eine Leiter?
Du stellst eine 4 Meter lange Leiter an eine Hauswand, ihr Fuß steht 1 Meter von der Wand entfernt. Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck, die Leiter ist die Hypotenuse. Wähle „Kathete a gesucht“ und gib b = 1 und c = 4 ein: a = √(4² − 1²) = √(16 − 1) = √15 ≈ 3,873 m. Die Leiter lehnt also in knapp 3,9 Metern Höhe an der Wand. Rückst du den Fuß auf 1,2 Meter ab, sind es nur noch √(16 − 1,44) = √14,56 ≈ 3,8158 m.
Schritt für Schritt
- Wähle aus, ob du die Hypotenuse c oder eine Kathete suchst.
- Gib die beiden bekannten Seiten ein – beide in derselben Einheit, Dezimalzahlen sind erlaubt.
- Achte bei der Kathetensuche darauf, dass die Hypotenuse c länger ist als die Kathete b.
- Lies das Ergebnis ab; es steht in derselben Einheit wie deine Eingaben.
- Rechne zur Kontrolle grob nach: Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete, aber kürzer als a + b sein.
Typische Werte
Mit dem Rechner ermittelt (Hypotenuse aus zwei Katheten):
| Kathete a | Kathete b | Hypotenuse c | Hinweis |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1,4142 | Diagonale eines Quadrats (√2) |
| 1 | 2 | 2,2361 | √5 |
| 2 | 3 | 3,6056 | √13 |
| 3 | 4 | 5 | pythagoreisches Tripel |
| 6 | 8 | 10 | doppeltes 3-4-5-Dreieck |
| 5 | 12 | 13 | pythagoreisches Tripel |
| 8 | 15 | 17 | pythagoreisches Tripel |
| 60 cm | 80 cm | 100 cm | Winkelkontrolle auf der Baustelle |
| 121,8 cm | 68,5 cm | 139,7408 cm | Bildschirmdiagonale, rund 55 Zoll |
Wann brauchst du den Pythagoras-Rechner?
Beim Anstellen einer Leiter, wenn du wissen willst, wie hoch sie bei einem bestimmten Wandabstand reicht. Beim Berechnen der Diagonale eines Raums, eines Tisches oder eines Bildschirms aus Breite und Höhe. Beim Abstecken eines Fundaments oder Beets, um mit dem 3-4-5-Verfahren zu prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist: Misst du 60 cm auf der einen und 80 cm auf der anderen Seite, muss die Diagonale genau 100 cm lang sein. Und natürlich in der Schule, um Hausaufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken zu kontrollieren.
Häufige Fehler und Grenzen
- Kein rechter Winkel: Die Formel gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Für andere Dreiecke brauchst du den Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos(γ), der bei γ = 90° wieder zum Pythagoras wird.
- Seiten verwechselt: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Trägst du die längste Seite als Kathete ein, stimmt das Ergebnis nicht.
- Gemischte Einheiten: 3 m und 40 cm lassen sich nicht direkt verrechnen. Rechne vorher alles in eine Einheit um, etwa mit dem Längen-Konverter.
- Wurzel vergessen: a² + b² ergibt c², nicht c. Bei 3 und 4 kommt erst nach dem Wurzelziehen 5 heraus, nicht 25.
- Rundung: Wurzeln wie √2 haben unendlich viele Nachkommastellen. Der Rechner zeigt höchstens vier davon – für Handwerk und Schule reicht das in aller Regel.
Passende Rechner
Fläche, Umfang und weitere Größen von Rechteck, Dreieck und anderen Formen berechnet der Geometrierechner, runde Formen die Kreisberechnung. Für Bildschirmdiagonalen in Zoll eignet sich der Bildschirmgrößen-Konverter, und Dachflächen mit Neigung ermittelt der Dachflächen-Rechner.
Häufige Fragen
Was ist eine Kathete, was eine Hypotenuse?
Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Gilt der Satz des Pythagoras für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei allen anderen Dreiecken brauchst du den Kosinussatz, der zusätzlich den Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten berücksichtigt.
Was bedeutet „Keine Lösung“?
Die Meldung erscheint, wenn du eine Kathete suchst und die eingegebene Hypotenuse c nicht größer als die Kathete b ist. Weil die Hypotenuse immer die längste Seite ist, gibt es dann kein passendes rechtwinkliges Dreieck.
Was ist ein pythagoreisches Tripel?
Drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13 oder 8-15-17. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eines, zum Beispiel 6-8-10 oder 60-80-100.
Kann ich mit dem Satz des Pythagoras prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist?
Ja. Miss auf beiden Schenkeln der Ecke eine Strecke ab, zum Beispiel 60 cm und 80 cm, und dann die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten. Ist sie genau 100 cm lang, ist die Ecke rechtwinklig; ist sie länger, ist der Winkel größer als 90 Grad, ist sie kürzer, ist er kleiner.
Wie berechne ich die Kathete b statt a?
Die Formel ist symmetrisch: Trag die bekannte Kathete einfach in das Feld b ein und wähle „Kathete a gesucht“. Das Ergebnis ist dann die gesuchte zweite Kathete, egal wie du sie nennst.
Wie berechne ich die Raumdiagonale eines Quaders?
Wende den Satz zweimal an: Berechne zuerst die Diagonale der Grundfläche aus Länge und Breite und anschließend aus dieser Diagonale und der Höhe die Raumdiagonale. Bei einem Raum mit 4 m × 3 m Grundfläche ist die Bodendiagonale 5 m, bei 2,5 m Höhe ergibt sich eine Raumdiagonale von rund 5,5902 m.
Warum ist das Ergebnis oft eine krumme Zahl?
Weil die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, unendlich viele Nachkommastellen hat. Nur bei pythagoreischen Tripeln kommt eine ganze Zahl heraus; in allen anderen Fällen zeigt der Rechner einen auf vier Nachkommastellen gerundeten Wert.