Fakultätsrechner

Was ist die Fakultät?

Die Fakultät einer natürlichen Zahl n, geschrieben n! und gesprochen „n Fakultät“, ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. So ist 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Per Definition gilt 0! = 1. Die Fakultät beantwortet vor allem eine Frage: Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich n unterschiedliche Dinge in eine Reihenfolge bringen? Der Rechner gibt dir das exakte Ergebnis mit allen Stellen aus – auch dann, wenn ein normaler Taschenrechner längst aufgibt.

So wird gerechnet

Der Rechner beginnt mit dem Wert 1 und multipliziert ihn nacheinander mit 2, 3, 4 … bis einschließlich n. Für n = 0 und n = 1 finden keine Multiplikationen statt, das Ergebnis bleibt 1. Gerechnet wird mit ganzen Zahlen beliebiger Länge (BigInt), deshalb ist jede Stelle exakt – es wird nichts gerundet und keine Exponentialschreibweise verwendet. Das Ergebnis erscheint mit Tausenderpunkten, darunter die Anzahl der Stellen.

Erlaubt sind ganze Zahlen von 0 bis 1.000. Für negative Zahlen und Dezimalzahlen ist die Fakultät in der Schulmathematik nicht definiert; der Rechner bittet dann um eine passende Eingabe.

Beispiel 1: Die Vorgabe 10!

Voreingestellt ist n = 10. Schritt für Schritt: 1 × 2 = 2, × 3 = 6, × 4 = 24, × 5 = 120, × 6 = 720, × 7 = 5.040, × 8 = 40.320, × 9 = 362.880, × 10 = 3.628.800. Das Ergebnis hat 7 Stellen. Zehn verschiedene Bücher lassen sich also auf über 3,6 Millionen Arten nebeneinander ins Regal stellen.

Beispiel 2: Sitzordnung beim Abendessen

Du hast 7 Gäste und 7 Stühle in einer Reihe. Für den ersten Stuhl gibt es 7 Möglichkeiten, für den zweiten noch 6, dann 5 und so weiter. Insgesamt sind das 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040 mögliche Sitzordnungen. Bei einem runden Tisch, an dem nur die Reihenfolge der Nachbarn zählt, teilst du durch die 7 Drehungen und erhältst 6! = 720.

Schritt für Schritt

1. Gib eine ganze Zahl zwischen 0 und 1.000 ein.
2. Lies das Ergebnis n! ab – bei großen n bricht die Zahl über mehrere Zeilen um.
3. Darunter siehst du, wie viele Stellen das Ergebnis hat.
4. Für Kombinationen wie beim Lotto teilst du mehrere Fakultäten durcheinander (siehe FAQ).

Typische Werte

Mit dem Rechner ermittelt:

n	n!	Stellen
0	1	1
1	1	1
3	6	1
5	120	3
7	5.040	4
10	3.628.800	7
12	479.001.600	9
13	6.227.020.800	10
15	1.307.674.368.000	13
20	2.432.902.008.176.640.000	19
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000	26
52	rund 8,07 × 1067	68
69	rund 1,71 × 1098	99
100	rund 9,33 × 10157	158
170	rund 7,26 × 10306	307
1.000	rund 4,02 × 102567	2.568

52! ist die Zahl der möglichen Reihenfolgen eines Kartenspiels mit 52 Karten. 69! ist die größte Fakultät, die viele Taschenrechner mit zweistelligem Exponenten noch anzeigen, denn 70! hat bereits 101 Stellen.

Wann brauchst du den Fakultät-Rechner?

In der Kombinatorik, um Reihenfolgen zu zählen: Wie viele Startaufstellungen gibt es für 4 Läuferinnen einer Staffel (4! = 24)? In der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Binomialkoeffizienten, etwa beim Lotto oder bei Kartenspielen. Beim Programmieren, um eine eigene Fakultätsfunktion mit exakten Referenzwerten zu vergleichen. Und in Schule und Studium, wenn Aufgaben Zahlen liefern, die zu groß für den Taschenrechner sind.

Häufige Fehler und Grenzen

• 0! ist 1, nicht 0: Es gibt genau eine Möglichkeit, null Dinge anzuordnen – nämlich gar nichts zu tun. Außerdem bleibt so die Regel n! = n × (n − 1)! auch für n = 1 gültig.
• Gleitkomma-Ungenauigkeit: Ab 19! ist das Ergebnis größer als 2⁵³, die Grenze, bis zu der übliche Gleitkommazahlen alle ganzen Zahlen exakt darstellen. Ab 23! fehlen bei normaler Gleitkommarechnung bereits Ziffern, ab 171! entsteht nur noch „unendlich“. Dieser Rechner nutzt dagegen exakte Ganzzahlarithmetik.
• Obergrenze 1.000: 1.000! hat 2.568 Stellen. Größere Werte würden die Anzeige unlesbar machen, deshalb ist die Eingabe begrenzt.
• Keine Gammafunktion: Fakultäten von Dezimalzahlen wie 2,5! gibt es nur über die Gammafunktion aus der höheren Mathematik. Dieser Rechner verarbeitet nur ganze Zahlen.
• n! ist nicht n × n: 5! ist 120, nicht 25 und auch nicht 5⁵ = 3.125.

Passende Rechner

Ob eine Zahl eine Primzahl ist und wie sie sich zerlegen lässt, zeigt der Primzahlen-Check. Brüche aus Fakultäten kürzt der Bruchrechner, Wahrscheinlichkeiten in Prozent rechnet der Prozentrechner um, und echte Zufallsziehungen simuliert der Zufallszahlengenerator.

Häufige Fragen

Was ist 0!?

Per Definition ist 0! = 1. Das passt zur Anordnungsfrage (es gibt genau eine Art, nichts anzuordnen) und sorgt dafür, dass Formeln wie die für Binomialkoeffizienten auch in Randfällen funktionieren.

Warum ist die maximale Eingabe auf 1.000 begrenzt?

Fakultäten wachsen extrem schnell: 1.000! hat bereits 2.568 Stellen. Die Begrenzung hält Berechnung und Anzeige übersichtlich; für Schule, Studium und Kombinatorik-Aufgaben reicht der Bereich praktisch immer.

Wofür wird die Fakultät verwendet?

Vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung: zum Zählen von Reihenfolgen (Permutationen), zum Berechnen von Binomialkoeffizienten und in Reihenentwicklungen der höheren Mathematik.

Wie schnell wächst die Fakultät im Vergleich zu anderen Funktionen?

Schneller als jede Exponentialfunktion mit fester Basis. 10! hat 7 Stellen, 20! schon 19 Stellen und liegt bei rund 2,43 Trillionen, 100! hat 158 Stellen.

Wie berechne ich damit die Anzahl möglicher Reihenfolgen einer Gruppe?

Die Anzahl aller Reihenfolgen von n unterschiedlichen Objekten ist genau n!. Bei 5 Büchern sind das 5! = 120 mögliche Anordnungen im Regal.

Wie hängt die Fakultät mit den Lotto-Chancen zusammen?

Die Zahl der möglichen Tipps bei 6 aus 49 ist der Binomialkoeffizient 49! ÷ (6! × 43!) = 13.983.816. Die Chance auf sechs Richtige liegt also bei 1 zu 13.983.816, ohne Superzahl betrachtet.

Warum endet n! bei großen Zahlen auf so viele Nullen?

Jede Null am Ende entsteht aus einem Faktorpaar 2 × 5. Faktoren 2 gibt es reichlich, also zählt die Anzahl der Fünfen: 10! endet auf 2 Nullen, 25! auf 6, 100! auf 24 und 1.000! auf 249 Nullen.

Gibt es eine Näherung für große Fakultäten?

Ja, die Stirling-Formel: n! ≈ √(2πn) × (n ÷ e)ⁿ. Für 10! liefert sie rund 3.598.696, also etwa 0,83 % weniger als der exakte Wert; mit wachsendem n wird die relative Abweichung immer kleiner.