Zufallszahlengenerator

Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeit

Dieser Zufallszahlengenerator zieht eine oder bis zu 1.000 ganze Zahlen aus einem frei wählbaren Bereich – wahlweise mit oder ohne Wiederholung. Zusätzlich zeigt er die Wahrscheinlichkeiten hinter der Ziehung: wie viele Zahlen möglich sind, wie groß die Chance für eine bestimmte Zahl ist und welcher Wert im Mittel zu erwarten ist. Damit eignet er sich für Mathematikaufgaben, Stichproben und Simulationen. Brauchst du einfach nur schnell eine einzelne Zahl, etwa als Würfelersatz, reicht der schlankere Zufallszahl-Generator.

So wird gerechnet

• Bereich: Minimum wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet, Maximum abgerundet. Beide Grenzen sind eingeschlossen. Anzahl möglicher Zahlen N = Maximum − Minimum + 1.
• Zufallsquelle: crypto.getRandomValues() liefert eine 32-Bit-Zufallszahl. Damit jede Zahl exakt gleich wahrscheinlich ist, verwirft der Rechner die wenigen Rohwerte, die bei der Umrechnung auf N Zahlen einen Überhang erzeugen würden (Verwerfungsmethode), und zieht neu.
• Mit Wiederholung: Jede Zahl wird unabhängig gezogen, Chance je Zahl und Ziehung = 1 ÷ N. Chance, dass eine bestimmte Zahl bei k Ziehungen mindestens einmal vorkommt = 1 − (1 − 1 ÷ N)^k.
• Ohne Wiederholung: Bei kleinen Bereichen wird der gesamte Bereich per Fisher-Yates-Verfahren gemischt und die ersten k Zahlen werden genommen; bei mehr als 100.000 möglichen Zahlen wird so lange gezogen, bis k verschiedene Zahlen vorliegen. Chance für eine bestimmte Zahl = k ÷ N.
• Erwartungswert: (Minimum + Maximum) ÷ 2 – um diesen Wert schwankt der Durchschnitt vieler Ziehungen.

Die Zahlen erscheinen in der Reihenfolge, in der sie gezogen wurden, also unsortiert.

Beispiel 1 mit den Vorgaben des Rechners

Minimum 1, Maximum 100, eine Zahl, mit Wiederholung: Es gibt N = 100 − 1 + 1 = 100 mögliche Zahlen, jede hat eine Chance von 1 ÷ 100 = 1 %. Der Erwartungswert liegt bei (1 + 100) ÷ 2 = 50,5. Eine einzelne Ziehung kann natürlich jede Zahl von 1 bis 100 ergeben; erst über viele Ziehungen pendelt sich der Durchschnitt bei etwa 50,5 ein.

Beispiel 2: Ziehung wie „6 aus 49“

Stelle Minimum 1, Maximum 49 und Anzahl 6 ein und aktiviere „Ohne Wiederholung“. Der Rechner zieht sechs verschiedene Zahlen. Die Chance, dass eine bestimmte Zahl, etwa die 7, dabei ist, beträgt 6 ÷ 49 ≈ 12,24 %. Es gibt 13.983.816 mögliche Kombinationen aus sechs Zahlen; eine bestimmte Kombination zu treffen, hat also eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 13.983.816. Wie viele Kombinationen es gibt, kannst du mit dem Fakultätsrechner nachvollziehen: 49! ÷ (6! × 43!).

Schritt für Schritt

1. Lege Minimum und Maximum fest. Negative Grenzen sind erlaubt, Dezimalgrenzen werden nach innen gerundet (0,5 bis 10,5 wird zu 1 bis 10).
2. Wähle die Anzahl (1 bis 1.000).
3. Aktiviere „Ohne Wiederholung“, wenn jede Zahl höchstens einmal vorkommen darf – etwa bei Losnummern oder einer Stichprobe aus einer nummerierten Liste.
4. Klicke auf „Zufallszahlen erzeugen“; jede Änderung an den Feldern zieht ebenfalls neu.
5. Lies unter dem Ergebnis ab, wie viele Zahlen möglich sind und wie wahrscheinlich eine bestimmte Zahl ist.

Wie wahrscheinlich sind doppelte Zahlen?

Ziehst du mit Wiederholung, tauchen Doppelte schneller auf als erwartet. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei k Ziehungen aus N Zahlen mindestens eine Zahl mehrfach vorkommt, beträgt 1 − (N ÷ N) × ((N − 1) ÷ N) × … × ((N − k + 1) ÷ N):

Bereich	N	Chance je Zahl	Erwartungswert	k Ziehungen	mind. eine Doppelte
1 bis 6 (Würfel)	6	16,67 %	3,5	3	44,44 %
1 bis 10	10	10 %	5,5	5	69,76 %
1 bis 49	49	2,04 %	25	6	27,26 %
1 bis 100	100	1 %	50,5	10	37,18 %
1 bis 100	100	1 %	50,5	20	86,96 %
1 bis 365	365	0,27 %	183	23	50,73 %
1 bis 1000	1000	0,1 %	500,5	10	4,41 %

Die Zeile 1 bis 365 ist das bekannte Geburtstagsparadoxon: Schon bei 23 Personen teilen sich mit über 50 % Wahrscheinlichkeit zwei denselben Geburtstag (vereinfacht ohne Schaltjahr). Werte gerundet.

Wofür du den Generator nutzen kannst

Für Mathematik- und Statistikaufgaben, etwa um Erwartungswert und tatsächlichen Durchschnitt vieler Ziehungen zu vergleichen: Erzeuge 1.000 Zahlen von 1 bis 6 und kopiere sie in den Durchschnittsrechner – das Ergebnis liegt nahe bei 3,5. Für eine zufällige Stichprobe aus einer nummerierten Liste, zum Beispiel 10 von 250 Fragebögen ohne Wiederholung. Oder für Testdaten, Übungsaufgaben und faire Reihenfolgen.

Häufige Fehler und Grenzen

• „Ohne Wiederholung“ mit zu kleinem Bereich: 10 verschiedene Zahlen zwischen 1 und 5 gibt es nicht – der Rechner zeigt dann einen Hinweis.
• Spielerfehlschluss: Jede Ziehung mit Wiederholung ist unabhängig. Eine Zahl, die lange nicht kam, ist beim nächsten Mal nicht wahrscheinlicher.
• Nur ganze Zahlen: Für Dezimalzahlen ziehe ganze Zahlen und teile sie selbst, etwa 1 bis 1000 durch 100 für Werte von 0,01 bis 10.
• Bereichsgrenze: Der Bereich darf höchstens 4.294.967.296 Zahlen umfassen (32-Bit-Zufallswert).
• Keine nachprüfbare Auslosung: Für Gewinnspiele mit rechtlichen Vorgaben oder Geldwert kann ein dokumentiertes Losverfahren nötig sein, das über eine Browser-Ziehung hinausgeht.

Passende Tools

Für eine einzelne Zahl auf Knopfdruck gibt es den Zufallszahl-Generator, zum Würfeln den Würfel-Simulator und für Kopf oder Zahl den Münzwurf. Namen statt Nummern ziehst du mit der Gewinner-Ziehung, Gruppen bildet der Team-Generator.

Häufige Fragen

Wie unterscheidet sich dieser Rechner von einfachem Math.random()?

Er nutzt crypto.getRandomValues(), einen kryptografisch sicheren Zufallsgenerator des Browsers, statt der einfacheren Pseudozufallsfunktion Math.random(). Zusätzlich sorgt die Verwerfungsmethode dafür, dass jede Zahl im Bereich exakt gleich wahrscheinlich ist.

Was bedeutet „Ohne Wiederholung“?

Jede gezogene Zahl kommt höchstens einmal vor – wie bei einer Ziehung ohne Zurücklegen, etwa Lottozahlen oder Losnummern. Die Chance, dass eine bestimmte Zahl dabei ist, beträgt dann Anzahl ÷ Bereichsgröße, bei 6 aus 49 also rund 12,24 %.

Wie viele Zahlen kann ich maximal gleichzeitig ziehen?

Bis zu 1.000 Zahlen pro Klick. Größere Eingaben werden auf 1.000 begrenzt, kleinere als 1 auf 1.

Wie funktioniert die Ziehung ohne Wiederholung technisch?

Bei bis zu 100.000 möglichen Zahlen legt der Rechner alle Zahlen in einen Pool, mischt ihn per Fisher-Yates-Verfahren und nimmt die gewünschte Anzahl von vorne. Bei größeren Bereichen zieht er einzeln und verwirft bereits gezogene Zahlen, bis genug verschiedene vorliegen.

Was passiert, wenn ich mehr eindeutige Zahlen anfordere, als der Bereich hergibt?

Der Rechner zeigt einen Hinweis, dass nicht genug verschiedene Zahlen verfügbar sind – etwa wenn du 10 verschiedene Zahlen zwischen 1 und 5 ziehen möchtest.

Sind Minimum und Maximum im Ergebnis möglich?

Ja, beide Grenzen sind eingeschlossen und genauso wahrscheinlich wie jede andere Zahl. Bei 1 bis 100 kann also sowohl die 1 als auch die 100 gezogen werden, jeweils mit 1 % Chance.

Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist der Durchschnitt, der sich bei sehr vielen Ziehungen einstellt, hier (Minimum + Maximum) ÷ 2. Bei 1 bis 6 sind das 3,5 – eine Zahl, die selbst nie gezogen wird, um die der Mittelwert vieler Würfe aber schwankt.

Was passiert mit Dezimalzahlen als Grenzen?

Das Minimum wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet, das Maximum abgerundet, damit kein Ergebnis außerhalb deiner Grenzen liegt. Aus 0,5 bis 10,5 wird so der Bereich 1 bis 10; liegt keine ganze Zahl zwischen den Grenzen, erscheint ein Hinweis.